Согласно правилам русского языка, «не» с глаголами всегда пишется раздельно. При этом “спеша” – это деепричастие, особая форма глагола, а значит, это правило действует и в данном случае. Таким образом сомневаться, как правильно пишется “не спеша“, не имеет смысла, написание всегда будет раздельным.
“Не спеша” может быть и наречием, но в любом случае пишется раздельно с не. Как деепричастие – деепричастия всегда раздельно пишутся с “не“. Как наречия – написание проверяется в словарном порядке. Есть много наречий, написание которых следует просто запоминать.
Итак, слово “не спеша” пишется всегда раздельно – не спеша. Запомните!
Примеры:
Она была рядом, но затем не спеша вошла в дом.
Мы с друзьями шли не спеша, посматривая друг на друга.
Требуется сделать всё не спеша
Паровоз двигался не спеша, медленно набирая скорость.